それでも公立トップ高校を目指したい!

それでも公立トップ高校を目指したい!

カテゴリー: 2018年10月03日
■■■■【 第716号 】■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
       [それでも公立トップ高校を目指したい!]       [608部配信]
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公立トップ校(or上位校)を目指している生徒とそのご父母の方に。英語と数
学を中心に社会、理科まで、その学習のしかたや問題点、テスト結果などを鋭
く分析。そのなかで如何にほんものの実力を養成していくか、受験に必要で役
立つ情報を配信。
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      ◆□◆ 数学の問題集を作りながら思ったこと ◆□◆
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◆◆目次とご案内◆◆
 1.E-juku1st.Com の情報 NO.716
  ●数学の問題集を作りながら思ったこと

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           頑張って下さい。
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 1.E-juku1st.Com の情報 NO.716<数学の問題集を作りながら思ったこと>
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<できるかできないかの分かれ目>

 はじめに数学の問題から。なに、それっ、眉を顰めて、少々気分が後ろ向き
になる方もなかにおられるかもしれませんね。日頃慣れ親しんでいないと、と
かくわずらわしいものです。いまさら中学数学の問題を考えることは、いや、
たとえ読むだけでもうんざり。でもまあ、すこしご辛抱を願えれば・・・。

 高校入試からの出題、中2生以上ならできる問題です。解答は一番下に書い
ておきます。もしされたら、参考にどうぞ。

 「正の整数Xを6でわると商がYで余りが1になり、Yを8でわると商がZで余りが
 3になる。
  1.XをY の式で表せ。
  2.XをZの式で表せ。
  3.Xを12でわったときの余りを求めよ。」

 レベルはまったく高くはなく基本的ですが、良問といいたい。なぜなら、3番
があるからで、ここに出題者のセンスのよさをほんのり感じます。この3番が
なければ、入試問題として体をなさず、ただのそこら辺にある演習問題か、定
期テストに出る、適当に配分して載せた問題のひとつに過ぎないともいえます。

 問題は、難しければいいというものではない。また、日常的な話題から採り
上げ、数学思考を見る問題など近年よく出されるが、わたし個人の感想として
は、うーん、これはいいねえ、よくできた問題だ、と感心させられるものは至
って少ない。おーい、そんなところで生徒の数学の能力を測れないぞ、とその
ドンキホーテ的な感覚というか、現実認識の誤謬と指導要領をそのまま受け売
りした愚かとしかいいようのない対応問題には、正直辟易させられる。

 中学段階での数学は、あくまで学問上の数学の狭い範囲内(といっても、き
ちんとやれば、その裏側に占めている応用の世界はかなりの拡がりがあるのだ
けど)でまずは切磋琢磨、その能力を磨いてもらいたいものだ、と考えている。

 それでも数少ないなかで問題にセンスの良さを感じるのは、関数問題の一部
と図形問題にあるわけですが、しかし、こんな視座と感想は一般にはちっとも
参考になるものではなくこの辺にして、さて、なんで上記の問題を書いたか、
ですね。
  
 小学校で余りのある割り算を勉強します。たとえば 23÷7=3…2のように。
では逆に、割られる数23を求めるには、どう計算すればいか? 簡単ですね、
7と3をかけ2を足せばいい。計算の仕組み(?)、いや感覚的にも知っておい
て当たり前です。そしてそれが中1になると、文字式で次のように問題として
されます。

 「ある正の整数を6でわると商がXで余りがYになる。ある整数をXとYを使って
 表せ」

 まず問題通り、ある正の整数を適当において、この際、○にしましょうか、
そうすると○÷6=X…Y で表せる。問題は○の部分の表しかた。ここでどう式
を組み立てたらいいのかわからないとする。なら、余りのでる式を自分で適当
に作って、割られる数の求め方を確認すればいい。<つまり、ここがポイント
でしょう。> 23÷6=3…5 そうか、23を求めるには、6と3をかけて余りの5
を足せばいいんだな、同様に考えて、○÷6=X…Yだから、6とXをかけてYを足
す、と。6×X+Y。文字式では×の符号は省略するのだから、答えは6X+Y。

 中1の前半なら、まだ文字式に不慣れな面、表面的には理解してもまだ体のな
かまで染み込んでいないというか、正しい表現と自分の考えが合致しない不安
定さがありそれを考慮したとしても、自分の力だけで解ける生徒が、2,3割に
過ぎないのはなんともいただけない。

 この問題の場合、「わからなくて解けない」というのはどういうことか? 
本質だけいうと、過去に習ったことを活かされていない、また活かす力に弱い
ということに他なりません。活かされないということは、きちっと理解し本人
のなかに基本の知識として蓄えていないわけです。学習を押し進めていくとよ
くわかることですが、生徒の「わからない」という実相の半分以上は実に、こ
れに類します。

 中2になると1学期、式の計算で再度習います。形は「ある正の整数Xを6でわ
ると商がYで余りが1になる。YをX の式で表せ。」と。XをY の式で表せではあ
りません。YをX の式で表せ、です。つまり等式変形ですね。

 でも考え方はまったく同じ。問題通り余りのある式を作り、等式に直して、
それから等式変形すればいい(そんな面倒くさいことせずとも一気に答えは書
けますが)。これが基本。では、できるのか? 中1でできる生徒はもちろん
中2でも正解を書きます。問題は中1の時点でできなかった生徒です。果たして
学んだのか? 知識を蓄えたのか?! 

 しかし、できるのは3割前後であろうか(これでもまだいい数値なのですが、
お判りいただけないとは思いますが)。つまりまだ、全体の半数前後の生徒は、
またしてもこの基本レベルで躓くわけです。余りのある式を適当に作って考え
ればいいというコツ(?)ですら、忘れてしまうんですから。

 どうせよこうせよ、というのはここでは触れるつもりません。問題の根っこ
は深く、大まかな助言でとてもこの現象を改善に向け得ることはできませんの
で。ただ指摘しておきたいことは、習った基本を三度も四度も忘れるようなだ
らしない勉強のしかた、浅い学習だけは決してすべきではない、ということで
す。その力は間違いなく入試まで持ち越して突入してしまいますから。

 中2で習い、自らに蓄えるべき内容は、もう一度最初の問題を書きますと、
「正の整数Xを6でわると商がYで余りが1になり、Yを8でわると商がZで余りが3
 になる。
  1.XをY の式で表せ。
  2.XをZの式で表せ。
  3.Xを12でわったときの余りを求めよ。」
  の、3番です。

 一体、いつまで1番と2番のレベルに留まっているのか?!といいたくなる。
中2で習得することは、等式変形と整数問題の説明(or証明)<たとえば、奇
数+偶数は奇数である、など>である。この3番もまさに、その整数問題の説
明を理解、利用する力を身につけておけば、なんてことなく解ける問題です。
  
 それが中3になると、1,2番でさえまたしてもおかしい生徒が・・・。まし
てや3番になると・・・。
 これはしかし、生徒の数学の実態を覗いてみて、何十、いや百以上ある問題
のなかのほんの一例に過ぎない。

 できるかできないかの分かれ目は、常に日頃の学習のなかに在る。一つ一つ
は小さくてもそれが百も寄せ集まれば、どのくらいの差が出てくるかは容易に
想像できるかと思います。実力はなにも、応用レベルの難しい問題が出来なけ
れば上がらないわけではない。むしろ多くの生徒の場合、基本の習得が、ほん
とにこの例のように足りないのである。そしてその基本の学びかたが、不徹底
に過ぎるのである。くれぐれもご注意していただきたい。

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  【解答】
1.X÷6=Y…1 より、X=6Y+1       答え X=6Y+1

 2.Y÷8=Z…3 より、Y=8Z+3 これを1番で求めた式 X=6Y+1に代入すると、
 X=6(8Z+3)+1 展開して X=48Z+18+1=48Z+19 
                     答え X=48Z+19 

 3.2番の式、X=48Z+19 より、12でくくると、X=12(4Z+1)+7
 4Z+1は整数だから、12(4Z+1)は12の倍数である、つまりXを12でわった時
 のあまりは7になる。
                      答え 7

 なーんだ、そんなんでいいのか。簡単じゃない。そうなんです、簡単なんで
すが・・・。

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発行周期: ほぼ 週刊 最新号:  2019/01/09 部数:  510部

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